2つのベクトルのなす角
バイオメカニクスでは２つのベクトルのなす角を求めることが求められます。
例えば、関節角度です。
今回はその方法の１つである余弦定理を用いた方法を紹介したいと思います。
余弦定理の詳細についてはどこかのサイトを探してもらう、もしくは数学の教科書に載っています。
なので、実際の運用方法について書いていきたいと思います。
余弦定理で２つのベクトルがなす角を求めるために必要なのは、２つのベクトルの内積とそれぞれの大きさ（ノルム）です。
では、作業の方法に入ります。
まずは、座標データから2本のベクトルを作ります。
仮に、膝関節角度を求める場合は膝関節から股関節に向かうベクトルと膝関節から足関節に向かうベクトルの2本を作成します。
なので・・・
vector1=股関節-膝関節
vector2=足関節-膝関節
rowという引数の1行目から3行目に股関節のX、Y、Z座標、4行目から6行目に膝関節のX、Y、Z座標が入っているとした場合は
vector1=row(1:3,:)-row(4:6,:);
となります。よりわかりやすくするために、
hip=row(1:3,:);
knee=row(4:6,:);
vector1=hip-knee;
次に内積を求めます。内積は1コマごとに求める必要があります。
したがって、1コマ目の内積は
InnerProduct=dot(vector1(:,1),vector2(:,1));
で求められます。dotは内積の関数です。
これをforを使って全コマ分求めることができます。
コマ数をFrameとしたとき、
for time=1:Frame
InnerProduct(time)=dot(vector1(:,time),vector2(:,time));
end
内積が求められたら、次はそれぞれのベクトルのノルムです。
for time=1:Frame
Norm1=norm(vector1(:,time));
Norm2=norm(vector2(:,time));
end
ノルムはコマによって変わらないような気がしますが、ディジタイズ誤差によって1コマごとに変動していますので、全コマ分別に求める必要があります。
最後に余弦定理で角度を求めます。
余弦定理の式を変形すると、cosの値が得られます。
つまり、ここまでに用いてきた引数で書くと
cos=InnerProduct/(Norm1*Norm2)
になります。これをforで全コマ分のcosの値を求めると
for time=1:Frame
cos(time)=InnerProduct(time)/(Norm1(time)*Norm2(time));
end
そして、求められたcosの値を「acos」に入れると、角度になります。
ただし、ここで算出された角度はradianなので、degree（度）に直すためには180/πをかけてやる必要があります。
したがって、膝関節の角度は・・・
angle=acos(cos)*180/pi;
で求められることになります。いかがでしたでしょうか？
少し難しかったかもしれませんが挑戦してみてください。
なお、この方法では180度を超える角度は求められません。
180度を超える角度を求める方法はまた今度紹介したいと思います。
WindowsとMac
Matlabを使うにあたって、OSによる悩みがあるのではないかと思います。
ほとんどの方はWindowsを使っているでしょうからあまり困ることはないでしょう。
しかし、研究者にはMacが多いということも耳にします。
また、Macが使いたいという方も多いのではないでしょうか。
唯一の違いはMacでは英語しか使えないということです。
Windowsでは日本語に対応しているのでエラーも日本語で返されます。ただし、よくわからない日本語になっていることも・・・。
一方、Macでは日本語に対応していないので、メニューもエラーもすべて英語です。
そして、使用するフォルダ、ディレクトリもすべて半角英数字でなければなりません。
したがって、現在のフォルダに指定するフォルダはすべて英語のディレクトリでなければならないのです。
ユーザー名が日本語の場合、書類フォルダの中に英語の名前のフォルダを作ってもそのフォルダを使うことはできません。
もし、MacでMatlabが使いたくて買ったものの、うまく動かないという方はこれが問題になっている可能性が考えられます。
MacでMatlabを使う場合、もうひとつ問題が生じることがあります。
それは、ディレクトリ名に「¥」が使えないことです。
Windowsでは「¥」によってディレクトリが記されますが、Macでは「¥」は「\」として表示されます。
どちらにせよ、円マークでもバックスラッシュでもMacではディレクトリを正しく読み取ることができません。
そのような場合は、「\（バックスラッシュ）」を「/（スラッシュ）」に置き換えてみてください。
そもそもディレクトリを書き間違えていない限り、これで正しく動くはずです。
なお、Windowsでも「/」は正常に動作するので、バックスラッシュよりもスラッシュを使うことをお勧めします。
データの取り扱い
スポーツバイオメカニクスの分析のためにMatlabを使う場合、まずはデータの扱い方から勉強しなければなりません。
バイオメカニクスでは主に座標値のデータを扱います。
X、Y、Zそれぞれの座標データがポイント数分あります。
基本的にディジタイズで得られた座標値は23点か25点を用いると思いますので、69もしくは75個の数字×コマ数分あることになります。
これらのデータは行にポイント、列に時間として扱うのが良いと考えています。
なので、この例では1行目は1ポイント目のX座標、2行目がY座標、3行目がZ座標となっており、4行目は2ポイント目のX座標、5行目がY座標、6行目がZ座標・・・というようになっています。
具体例を挙げると、上から頭頂のX・Y・Z座標、耳珠点のX・Y・Z座標という具合です。
ちなみに、Frame-DIASからエクスポートしたデータをそのまま読み込むと行は時間、列はポイントになっています。
なので、読み込んだものを転置するとこの形になります。
したがって、読み込んでこの形にするには次のような方法を取ります。
Frame-DIASでエクスポートしたデータが「data.3d」というファイルで現在のフォルダーに入っているします。
これをrowという引数に入れるときは・・・
FDdata=dlmread('data.3d');
[m,n]=size(FDdata);
row=FDdata(2:m,:)';
の3行でできます。
1行目でデータをFDdataに読み込みます。
2行目でデータのサイズを取得します。
そして、3行目で不要な部分を切り取り、転置することで冒頭で説明した形になります。
さらに・・・
[Point,Frame]=size(row)
と次の行に入れておけば、ポイント数とコマ数をそれぞれPointとFrameという引数に取得することができます。
しかし、実はこんなことをしなくてもFDdataの1行目にこれらのデータに加えて刻み時間も入っているので、そちらを取得した方が賢いかもしれません。
