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スポーツバイオメカニクス MatlabとOpenSIM

スポーツバイオメカニクスの分析によく用いられるMatlabとOpenSIMの使用に関する備忘録

反復測定2元配置分散分析 【Statistics and Machine Learning Toolbox】

Matlab

Statistics and Machine Learning Toolbox

MatlabのStatistics Toolboxがバージョンアップされて、「Statistics and Machine Learning Toolbox」になりました。
これまでは反復測定分散分析はできなかったようですが、このバージョンアップで正式に対応したようです。

これまでのStatistics Toolboxでは、二元配置分散分析を行うことはできたのですが、反復のない分散分析のみ対応していました。
ここで、「反復」って何だ?と思う方もいるでしょう。
詳細は統計の本やサイトに譲りますが、「反復測定」というのは、いわゆる「対応あり」のことを言います。
つまり、これまでのToolboxでは対応なしの分散分析しかできなかったわけです(多分)。

この度新しく追加された反復測定分散分析ですが、これまでの反復のない分散分析と比較して、使い方が非常に難しいのです。

反復測定分散分析 —MATLAB—
正直なところ、Mathworksの解説を読んでもさっぱりわかりません。
私は統計の専門家ではないので、詳しいことはわかりませんが、説明文の登場する用語たちも決して統計の専門用語ではないようで、わからない言葉を検索してもMathworksのページばかりが登場します。

そこで、今回はMatlabを用いた反復測定分散分析の使い方の解説をしようと思います。

データセットの準備

今回はランダムな数字を発生させてデータを用意しました。

ある試技をAとBの2条件で同じ被験者に行わせたとします。
そして、時刻1と時刻2のときのあるパラメータを算出しました。

したがって、同じ被験者から得られたデータを用いて、条件(A, B)×時刻(1, 2)の2要因の分散分析を行います。

データはSPSSで分析する際と同じように、1行ごとに1人の被験者のデータを入力します。
列は条件になります。

f:id:simulate:20170131195111p:plain

これをもとに、データセットのテーブルを作成します。

T=table(data(:,1),data(:,2),data(:,3),data(:,4),'VariableNames',{'A_1','A_2','B_1','B_2'});

そうすると、このようにテーブルができます。

f:id:simulate:20170131195157p:plain

条件の指定

データセットが出来たら、今度は条件を指定したテーブルを作成してやります。
今回は条件A、Bと時刻1、2です。

まずは、セル配列として、各列がどの条件にあてはまるのかを指定します。
ここでは、データセットの列は、セル配列の行にあたります。

w1={'A','A','B','B'}';w2={'t1','t2','t1','t2'}';

 2要因ですので、2つの指定が必要です。
1つめの要因では、条件AとBを指定しています。
2つめの要因では、時刻1と時刻2を指定しています。

つまり、データセットテーブルの1列目は条件Aの時刻1、2列目は条件Aの時刻2、3列名は条件Bの時刻1、4列目は条件Bの時刻2のデータであることを示しています。

これをさきほどの容量でテーブルにしてやります。

within=table(w1,w2,'VariableNames',{'Condition','Time'});

反復測定モデルの近似

ここまでできたら、分散分析の内容に入っていきます。
anovaにかける前に、反復測定モデルを作成しなければなりません。
Mathworksのページでは、このような解説がされています。

反復測定モデルの近似 —MATLAB—

では、具体的に説明していきます。
必要なのはたった1行のプログラムです。

rm=fitrm(T,'A_1-B_2~1','WithinDesign',within);

引数を説明すると、
「T」はデータセットテーブルです。
「'A_1-B_2~1'」はモデル仕様の式です。
これに関して、Mathworksの解説を読んでもさっぱりわかりません。
ウィルキンソンの〜と解説されていますが、何のことやら。

モデル仕様は「~」の左側と右側に分けて考えます。
左側が応答、右側が項です。
それでもよくわかりませんね。

基本的に、反復測定2元配置分散分析では、項は「1」でOKです。
応答には、データセットの中の必要な変数をテーブルの変数名で指定してやります。
「-」は範囲を指定する書き方です。
今回の場合、「A_1-B_2」と表記しています。
データセットには、左から順にA_1、A_2、B_1、B_2と入っていますから、この書き方をすると「A_1」から「B_2」までの変数を使うことになるわけです。

A_1とB_2だけを使う、というような場合には、「A_1,B_2」と書けばいいようです。
とはいえ、面倒なので分散分析のデータセットには不要なデータは入れずに、「左端の変数名-右端の変数名」で表記できるようにしましょう。

次に、「'WithinDesign'」と「within」ですが、被験者内要因の定義を示します。
「'WithinDesign'」で反復測定モデル(つまり、被験者内要因があること)であることを宣言し、その内容を次の引数として入力します。
「within」は条件の指定のところで作成したテーブル名です。

ここまで行うと、「rm」という変数ができます。

f:id:simulate:20170131195248p:plain

これは、この先使っていきますが、中身を見る必要はいまのところありません。
「ああ、できてるな」と思っていただければ結構です。

ANOVAの実行

ついに、分散分析を実行します。
対応なしの二元配置分散分析では、「anova2」を用いますが、対応ありの二元配置分散分析では、「ranova」を用います。

[ranovatbl]=ranova(rm,'WithinModel','Condition*Time');

まずは、入力引数から。

「rm」はさきほど作成した反復測定モデルです。
そのまま入れてやれば良いだけです。

「'WithinModel'」は、このあとのどの条件の主効果、交互作用を見るかを指定するためのものです。
「'Condition*Time'」がCondition要因とTime要因について検討することを示しています。
この指定を忘れると表示される結果が全くことなるものになってしまいます。
この「Condition」と「Time」は条件の指定で作成したテーブルの行タイトル(変数名)で指定してやります。

ちなみに、「[ranova]=ranova(rm)」だけで実行した場合の結果はこのようになります。
f:id:simulate:20170131195317p:plain

これでは交互作用も主効果もわかりません。

こちらが正しく指定したときの出力引数「ranovatbl」はです。
分散分析を実行した結果が入っています。

f:id:simulate:20170131195340p:plain

Fの列にF値が、pValueの列にp値が入っています。
7行目には「交互作用」の結果が、3行目には「Condition」の主効果が、5行目には「Time」の主効果が示されています。

pValueの列の右にある3列は球面性検定の結果に基づいて、補正をした場合のp値が示されています。
このあたりの詳細は統計書に譲ります。
なお、球面性検定もMatlabでできます。

今回はその結果を無視して、球面性の仮定ができた場合について見ていきます。

多重比較(交互作用が有意だった場合)

今回の結果では、交互作用が有意になっています。
交互作用が有意であった場合、多重比較の際にもうひとつの要因で補正してやる必要があります。

そのため、多重比較は次のように行います。

mult1=multcompare(rm,'Condition','By','Time');
mult2=multcompare(rm,'Time','By','Condition');

すると、結果は次のようになります。

f:id:simulate:20170131195410p:plain
f:id:simulate:20170131195430p:plain

mult1について見てみると、
1行目は時刻1のときの条件AとBとの間の差を検討しており、p値が0.1758となっていることから、ここには有意差が認められなかったことを示しています。
その他の結果についても同様に見ていきます。

多重比較(交互作用が有意ではない場合)

交互作用が有意ではない場合は、次のように表記します。

mult1=multcompare(rm,'Condition');
mult2=multcompare(rm,'Time');

そして、結果はこのようになります。

f:id:simulate:20170131195458p:plain

f:id:simulate:20170131195533p:plain

交互作用が有意でない場合、条件ごとまとめて比較して良いので、「mult1」では、時刻を問わず、条件AとBとの間に差があるのかどうかを検討しています。
今回の結果では、p値は0.9770であり、有意差が認められなかったことを示しています。

最後に

今回は、Matlabを用いた反復測定分散分析について紹介してきました。
これらの分析はSPSSでも行えますが、シンタックスを用いて単純主効果検定と多重比較について書き足す必要があります。
また、SPSSでは要因が99個を超えると実行できません。

つまり、SPSSを使うと割と面倒なことになります。
これらの分析を1回だけ行うのであれば、大した問題ではありませんが、何十回も行うのであれば、Matlab上でうまく回す方が賢明でしょう。

ただし、最初の1回はSPSS等の統計ソフトの結果と一致するか確認しておくことをお勧めします。